如图所示，棒受到的力是共点力。

如图所示，为一金属杆置于光滑的半球形碗中。杆受重力及A、 B两点的支持力三个力的作用；N1作用线过球心，N2作用线垂直于杆，当杆在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三力的作用线必汇于一点，所以重力G的作用线必过 N1、N2的交点O。

如图所示为竖直墙面上挂一光滑球，它受三个力：重力、墙面弹力和悬线拉力，由于球光滑，它们的作用线必过球心。

三、力的合成：

1、概念：求几个力的合力叫力的合成。

2、力的合成的本质：力的合成就是找一个力去（等效）代替几个已知的力，而不改变其作用效果。

3、求合力的基本方法

（1）实验法--等效代替法

（2）数学法--平行四边形定则法

①平行四边形定则内容：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么，合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来。这种方法叫做力的平行四边形定则，如图甲所示。

注意：平行四边形定则只适用于共点力。

拓展：三角形定则

求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示．

a.向量加法的三角形法则

特点：首尾相连，和向量是由第一个向量起点指向第二个向量的终点。

b.向量减法的三角形法则

特点：起点相同，差向量是由减数向量终点指向被减数向量终点。

②利用平行四边形定则求解合力常用两种求解方法

Ⅰ.图解法：从力的作用点起，按两个力的作用方向，用同一个标度作出两个力F1、F2，并构成一个平行四边形，这个平行四边形的对角线的长度按同样的比例表示合力的大小，对角线的方向就是合力的方向，用量角器直接量出合力F与某一个力（如F1）的夹角，如图所示。图中F1＝40N，F2＝50N，用直尺量出对角线长度，按比例得出合力F＝80N，合力F与分力F1的夹角约为30°。

注意：使用图解法时，应先确定力的标度，在同一幅图上各个力都必须采用同一个标度，并且合力、分力的比例要适当，虚线、实线要分清。图解法的优点是简单、直观，缺点是不够精确。

Ⅱ.计算法：找三角形利用边角关系求解

若两个力F1、F2的夹角为，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到

合力大小：

合力方向：

讨论：

a．若θ=0°，则F=F1+F2

b．若θ=90°，如图所示，当两个力F1、F2互相垂直时，以两个分力F1、F2为邻边画出的力的平行四边形为一矩形，其合力F的大小为。

设合力与其中一个分力（如F1）的夹角为，由三角知识可得：。由此即可确定合力的方向。

c．若θ=180°，则F=|F1-F2|

d．等大的两个共点力合成时的三个特殊值

若夹角θ=120°，且F1=F2，则F=F1=F2

f．夹角为θ的两个等大的力的合成，如图所示，作出的平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直的特点可求得合力

◆分力的大小与合力的大小的关系

a.两个分力同向，合力大小为两个分力之和，，方向不变。

b.两个分力反向，合力大小为两个分力之差，，方向与较大的力的方向相同。

c.合力介于分力之和与分力之差之间，。

d.合力可以大于任意一个分力，也可以小于任意一个分力，关键是看两个分力的夹角。夹角越小，合力越大。

e.合力的大小是分力经过矢量的平行四边形运算法则得到的。

f.合力方向也是分力经过矢量的平行四边形运算法则得到的。

◆合力范围的确定

a.两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2

b.三个共点力的合成范围

最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3

最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值为Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1为三个力中最大的力)

例题：物体受到三个共点力的作用，其中两力的大小分别为4N、7N，这三个力的合力最大值16N，则第三个力的大小为多少？这三个力的合力的最小值为多少？

错解：三个力的最大合力

又因为、的合力的取值范围是：

它们的最小值

分析：（1）把矢量的合成与标量的代数求和相混淆.（2）认为三个力只能在一条直线上，实际上、、三个力只是大小确定，但方向不确定.

物体受到三个力的作用时，合力的最大值是当三个力方向相同时的合力，即当任意两个力的合力与第三个力方向相反时，这三个力的合力最小。先确定任意两个力的合力范围，然后再与第三个力比较，从而求出合力的最小值；若三个力的大小关系满足任意一个力小于或等于另外两个力之和，大于或等于另外两个力之差时，其合力的最小值为零.

正解：.因为，所以再与合成其

◆多个共点力的合成方法

依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法．还可以用多边形法则．

四、力的分解的概念

1、分力：几个力共同作用产生的效果跟原来一个力作用产生的效果相同，这几个力就叫做原来那个力的分力。

2、力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解。

注意：

①力的分解就是找几个力来代替原来的一个力，而不改变其作用效果。合力与分力间是等效替代的关系。

②实际情况中根据力的作用效果进行分解。

五、力的分解的方法

1、力的分解法则——力的平行四边形定则。

力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。即把已知力作为平行四边形的对角线，那么与已知力共点的两条邻边就表示已知力的两个分力的大小和方向。

注意：一个力可以分解为无数多对分力。如图所示，要确定一个力的两个分力，一定要有定解的条件。

2、对力分解时有解、无解的讨论

力分解时有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形（或三角形），如果能构成平行四边形（或三角形），说明该合力可以分解成给定的分力，即有解。如果不能构成平行四边形（或三角形），说明该合力不能按给定的分力分解，即无解。具体情况有以下几种：

①已知两分力的方向（不在同一直线上）。如图所示，要求把已知力分解成沿OA、OB方向的两个分力，可以从F的箭头处开始作OA、OB的平行线，画出力的平行四边形，即可得两分力F1、F2。

②已知一个分力的大小和方向。如图所示，已知一个分力为F1，则先连接合力F和分力F1的箭头，即为平行四边形的另一邻边，作出平行四边形，可得另一分力F2。

③已知两个分力的大小，若|F1－F2|>F或F>F1＋F2，则无解；若|F1－F2|

④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，以表示合力F的线段末端为圆心，以表示的大小的线段长度为半径作圆。

Ⅰ.当时，圆与F1无交点，此时无解，如图甲所示。

甲

Ⅱ.当时，圆与相切，此时有一解，如图乙所示。

乙

Ⅲ.当时，圆与有两交点，此时有两解，如图丙所示。

丙

Ⅳ.当时，圆与只有一个交点，此时只有一解，如图丁所示。

丁

⑤已知两分力之间的夹角，虽然无解，但可熟悉一下圆中旋转三角形法的应用。

例题：如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时沿顺时针方向转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(α>90°)，物体保持静止状态。在旋转过程中，设绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，则：( )

A、T1先减小后增大

B、T1先增大后减小

C、T2逐渐减小

D、T2最终变为零

解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角∠CDE不变(因为角α不变)，由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图中画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零。正确答案选项为B、C、D。

⑥已知一个分力大小不变，虽然无解，但可熟悉一下矢量圆的应用。

例题：如图所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计（图中未画出）通过细线拉橡皮条的端点，使其到达O点，此时α+β=90°，然后保持M的示数不变，而使α角减小，为保持端点位置不变，可采用的办法是（ ）

A． 减小N的示数同时减小β角

B． 减小N的示数同时增大β角

C． 增大N的示数同时增大β角

D． 增大N的示数同时减小β角

解析：以结点O为研究对角，受到三个拉力，如图所示分别为FM、FN、F合，将三力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形),以O为圆心，FM为半径作圆，需满足力F合大小、方向不变，角α减小，则动态矢量三角形如图中画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知FN的示数减小同时β角减小。故选A。

3、力的正交分解法

1）当物体受力较多时，我们常把物体受力沿互相垂直的两个方向分解，根据＝0，＝0列方程求解。

把一个力分解成两个互相垂直的分力的方法叫做力的正交分解法。

基本思想：力的等效与替代

正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算解决矢量运算。

设已知力为F，现在要把它分解成两个分别沿x轴和y轴的分力。

如图所示，将力F沿力x、y方向分解，可得：

注意：①恰当地建立直角坐标系xOy，多数情况选共点力作用的交点为坐标原点，坐标轴方向的选择具有任意性，原则是：使坐标轴与尽量多的力重合，使需要分解的力尽量少和容易分解。

②将各力沿两坐标轴依次分解为互相垂直的两个分力。注意：与坐标轴正方向同向的分力取正值，与坐标轴负方向同向的分力取负值。

2）①平衡状态：使物体保持静止状态或匀速直线运动状态

②共点力作用下物体的平衡条件：物体受到的合外力为零。即F合＝0

说明：①物体受到N个共点力作用而处于平衡状态时，取出其中的一个力，则这个力必与剩下的（N－1）个力的合力等大反向。

②若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：Fx合＝0，Fy合＝0。

例题解析

一、对合力、分力、共点力的理解

例1、下列关于合力与分力的叙述，不正确的是（）

A.一个物体受到几个力的作用，同时也受到这几个力的合力的作用

B.几个力的合力总是大于它各个分力中最小的力

C.合力和它相应的分力对物体的作用效果相同

D.力的合成就是把几个力的作用效果用一个力来代替

解答：几个力的合力与这几个力的作用效果是相同的，它们是可以相互替代的，合力与分力不能同时作用在物体上，所以A错误，C、D正确；而合力可以大于其中任一个分力，也可以小于任一个分力。所以B错误。

答案：A、B

例2、下面关于共点力的说法中正确的是（）

A.物体受到的外力一定是共点力

B.共点力一定是力的作用点在物体上的同一点上

C.共点力可以是几个力的作用点在物体的同一点上，也可以是几个力的作用线交于同一点

D.以上说法都不对

解答：共点力的定义为：几个力如果都作用在物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。所以C正确，A、B、D错误。

答案：C

例3、质量为m的物体沿倾角为θ的斜面匀速下滑（如图甲所示），如果斜面固定，求物体对斜面的作用力？

错解：因为重力可分解为，从而得出物体对斜面的作用力大小为

分析：审题不仔细或对题意理解不够透彻，不善于挖掘题中的隐含条件，题中物体做匀速运动，隐含了物体受斜面摩擦力这一条件（如图乙所示），又因为题中要求物体对斜面的作用力，应是它对斜面的压力与摩擦力的合力.

正解：物体受到斜面给的支持力和摩擦力F=mgsinθ两者合力为斜面对物体的作用力，大小等于G，方向竖直向上，由力的相互性得物体对斜面的作用力方向竖直向下，大小为mg。

二、力的合成与平行四边形定则的理解和应用

例1、有两个共点力，F1＝2N，F2＝4N，它们的合力F的大小可能是（）

A.1N

B. 5N

C. 7N

D. 9N

分析：本题主要考查二力合成的平行四边形定则及二力合成的范围。要求知道二力合成时合力范围在两力大小之和与两力大小之差之间，即|F1－F2|＜F＜F1＋F2，这样就可以选出正确的选项。

解答：两个共点力F1＝2N、F2＝4N，当力F1、F2方向相同时，合力最大，且Fmax＝F1＋F2＝2N＋4N＝6N；当力F1、F2方向相反时，合力最小，且Fmin＝4N－2N＝2N。所以这两个力F1、F2的合力范围为［2N，4N］，从上述四个选项中可看出，合力在此范围内的力只有B。

答案：B

例2、如图所示，AB为半圆的一条直径，P点为圆周上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3，求它们的合力。

分析：运用几何方法求多力合成问题，是多力合成问题中比较灵活的一类，解决此类问题的关键是找出题目几何特点，并能够将几何知识恰当地运用到力的合成中。

解答：如图所示，将半圆补画成完整的圆，延长PO交圆周于C点，连接AC、BC，易知：四边形PACB为平行四边形。所以，F1、F3的合力为2F2，则这三个力的合力的大小为3F2。

答案：3F2

例3、两位同学共同提一桶水，水和桶的总质量是15 kg，两人的手臂与竖直方向的夹角都是30°，则这两位同学所用的力相同，大小为____________。

分析：求解平行四边形时可先找出平行四边形中所包含的三角形的关系，再利用边角关系求解。

解答：两位同学提力的合力等于水和水桶的重力，对水和水桶进行受力分析及求分力如下图所示，所以F＝＝

N＝84.9 N。

答案：84.9 N

例4、如图，跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落.已知运动员和他身上装备的总重力为G1，圆顶形降落伞伞面的重力为G2，伞面下有8条相同的拉线，一端与飞行员相连（拉线重力不计），另一端均匀分布在伞面边缘上（图中没有把拉线都画出来），每根拉线和竖直方向都成30°角。那么每根拉线上的张力大小为（）

A.

B.

C.

D.

分析：若弄不清楚本题的研究对象，把人和降落伞看作一个整体而求解拉线的拉力可能误选B或者C。错误原因是把人和降落伞看作一个整体时，拉线的拉力就成了系统的内力，本题应把拉线的拉力当作外力来处理，所以选项B、C错误；因拉线与竖直方向有30°夹角，根据人受到的平衡力，求出的结果不是G，所以选项D错误。

解答：因为8条相同的拉线，均匀分布在伞面边缘上，过中心作一截面图，如图所示，由于拉线分布对称，每根绳上张力相同，对运动员进行受力分析可知：人受到重力G和8根拉线的拉力FT，由于跳伞运动员在空中保持匀速降落，由平衡知识可求出。

拉线拉力FT为：

，故选项A正确。

答案：A

三、力的分解

一个已知力的实际分力的确定方法基本步骤：

例1、如下图甲所示，电灯的重力G＝10N，绳AO与顶板间夹角为45°，绳BO水平，则绳AO所受的拉力__________；绳BO所受的拉力__________。

甲

分析：将一个已知力分解，在理论上是任意的，只要符合平行四边形定则就行，但在实际问题中，首先要弄清所分解的力有哪些作用效果，再确定各分力的方向，最后应用平行四边形定则解题。

解析：将电灯拉O点的力分解在OA、OB上。

先分析物理现象：为什么绳AO、BO受到拉力呢？原因是由于绳OC的拉力产生了两个效果：一是沿AO向下的拉紧AO的分力；二是沿BO向右拉紧绳BO的分力，画出平行四边形，如图乙所示，因为OC的拉力等于电灯重力，因此由几何关系得：

乙

答案：

例2、物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如下图所示，则必须同时再加一个力F′，使F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为（）。

A.

B.

C.

D.

分析：此题考查力在分解过程中极值的情况。

解析：作出分力和合力的图示，得到平行四边形来求解。当F′与OO′垂直时分力最小。

答案：B

例3、一位同学在厨房里帮助妈妈做菜时对菜刀产生了兴趣，他发现菜刀的刀刃前部和后部的薄厚程度不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大（如下图），他先后作出过几个猜想，其中合理的是（）。

A.刀刃前部和后部薄厚不匀，仅是为了打造方便，外形美观，跟使用功能无关

B.在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃薄厚无关

C.在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大

D.在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大

解析：把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为，背宽为d，侧面长为l，如下图（a）所示。

当在劈背施加压力F后，产生垂直于侧面的两个分力，使用中依靠这两个分力分开被加工的其他物体。由对称性知，这两个分力大小相等（），因此画出力分解的平行四边形，为菱形，如图（b）所示。

在这个力的平行四边形示意图中，取其四分之一考虑（图中阴影部分）。根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，有关系式

由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关。顶角越小，的值越小，越大。

但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度便会减小，若碰到较硬的物体时刀刃会卷口甚至碎裂。实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要，所以将菜刀做成前部较薄，后部较厚。使用时，用前部切一些软的物品（如鱼、肉、蔬菜、水果等），用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品。俗话说：“前切后劈”，指的就是这个意思。

由此可见，这位同学最后的一次猜想是合理的。

答案：D

小结：生活中巧妙利用力的分解的例子还有很多。比如我国古代的能工巧匠利用合力与分力的道理，设计结构精美的拱桥，巧妙地将垂直向下的压力，转化为两个斜向下的分力（如下图），大大提高了桥梁的承载能力。这些桥早已在民间普及，人们用石头建造出大小、式样各异的拱桥，仔细观察，你会发现这些拱桥基本上与下图相似。

四、正交分解法的应用

用正交分解法求多个力的合力的基本思路是：

1、对研究对象进行受力分析。

2、建立直角坐标系，再把不在轴上的所有的力沿两个坐标轴方向垂直分解。

3、根据两个坐标轴方向列状态方程，解出未知量。

例1、在水平路面上用绳子拉一个重力为G＝200 N的木箱，绳子与水平路面的夹角θ＝30°，如图所示.木箱与路面间的动摩擦因数μ＝0.10，要使木箱能在水平路面上匀速移动，则绳上所加拉力F应为多大？

分析：不难看出，用正交分解法求合力的依据是合力与分力的等效替代关系，即将一个力分解后，利用它的两个分力求得的合力与直接利用这个力求合力的结果是相同的。

解答：对物体进行受力分析，如图所示，木箱共受4个力的作用。将拉力F沿x轴和y轴分解得：F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ

在y轴：F2＋FN＝G，FN＝G－F2

在x轴：F1＝Ff＝μ（G－F2），即Fcosθ＝μG－μFsinθ

F＝＝

N＝21.8 N。

答案：21.8 N

例2、一个底面粗糙的质量为M的三角劈放在水平面上，三角劈的斜面光滑且与水平面成角。用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，将小球放在斜面上，轻绳与竖直面的夹角为，如下图所示。求当三角劈静止时绳子的张力T是多少？若地面对三角劈的最大静摩擦力等于地面对三角劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，k值不能小于多少？

分析：遇到斜面平衡问题时，一般沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴，在求解外力时可利用整体法分析。

解答：以小球为研究对象，沿平行于斜面和垂直于斜面方向建立坐标系，其受力情况如下图所示。对T和mg进行正交分解，由物体的平衡条件有

所以

再以三角劈和小球整体作为研究对象，沿水平方向和竖直方向建立坐标系，则整体受力情况如下图所示。将T正交分解后，对地面与三角劈间的最大静摩擦力fmax，由物体的平衡条件有

且

所以解得

the end

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